Introducción a los métodos gráficos de Goodman

Esta entrada de blog será la primera de tres sobre la aplicación de los métodos gráficos de Goodman y la iluminación parcialmente coherente, centrándose en su aplicación a los moduladores espaciales de luz. Esta introducción comenzará en un punto anterior al artículo de Goodman y terminará más o menos donde comienza su artículo. Esperamos que sirva como introducción a la teminología y los conceptos del artículo.

Partial Coherence – Nothing to Fear

Diseñar un sistema de imagen parcialmente coherente, especialmente uno que implique un modulador de luz espacial, puede ser una tarea ardua. Los moduladores espaciales de luz son sistemas complejos de por sí y hacer un diseño desde cero a merced de herramientas de simulación opacas es como iluminar una habitación oscura con un puntero láser. Las cosas se aclaran bastante en el punto iluminado, pero sigue faltando la imagen completa.

El problema de las imágenes parcialmente coherentes es que ya no podemos recurrir a conceptos familiares como la cartografía lineal. Con los sistemas de imágenes incoherentes, podemos sumar intensidades. En los sistemas de imágenes coherentes, sumamos amplitudes, pero los sistemas de imágenes parcialmente coherentes son lineales en la función de coherencia mutua, lo que desgraciadamente ofrece muy poca información adicional sobre el proceso de formación de imágenes.

Sin embargo, Goodman ofrece cierto alivio. No, no Joseph Goodman. Hablo de Douglas Goodman. El artículo de Goodman, "Métodos gráficos para comprender las imágenes parcialmente coherentes" es un gran artículo que ofrece ideas útiles sobre el tema y con la ayuda de un gráfico bidimensional se pueden entender algunos resultados no intuitivos, tanto cuantitativos como cualitativos.

El autor aborda el tema desde varios puntos de vista, pero se adentra en la historia dando por sentado que el lector está familiarizado con el formalismo. Según mi experiencia, a veces esto es demasiado para muchos lectores. Por lo tanto, esta charla técnica intentará tender un puente y servir de precuela al artículo. Dado que este tema ya está cubierto de forma rigurosa en varios textos estándar como Born & Wolf o J. Goodman's Statistical Optics, nos centraremos en los conceptos más importantes para el caso especial de la imagen de un objeto unidimensional, una línea.

Volver a lo básico

Por lo tanto, vamos a empezar con algo con lo que la mayoría de los lectores pueden sentirse cómodos, el cálculo de la intensidad para una imagen coherente de un objeto (O) a través de un sistema óptico caracterizado con la respuesta al impulso (H). Los símbolos utilizados aquí son los mismos que en el artículo para facilitar el salto al artículo de Goodman a quienes deseen hacerlo.

Sólo tenemos que superar dos obstáculos para obtener la visión de conjunto que es el objetivo aquí, uno es por qué un objeto unidimensional requiere una integral bidimensional. Este es sencillo porque implica expandir la expresión anterior en su amplitud y su conjugado complejo. Voilá. Dos integrales. ¿Ya hemos acabado? Bueno, casi.

Cómo, hora de la confesión. No existe la coherencia parcial. La física cuántica nos dice que una partícula sólo interfiere consigo misma o no interfiere en absoluto. Eso es bastante cuadrado, ¿no? Cuando montamos un sistema parcialmente coherente, básicamente necesitamos una fuente incoherente con suficiente etendencia para iluminar todos los objetos que queremos apretar en una sola imagen. Para el tema que nos ocupa, podemos olvidarnos del etendue pero necesitamos considerar la fuente incoherente en el infinito, o hablando en términos prácticos, en el otro extremo de un sistema 2F colimado.

Entonces, ¿significa esto que podemos simplemente sumar las intensidades de todas las ondas planas que se originan en la fuente?

No, porque la integral anterior no tiene en cuenta correctamente la iluminación fuera del eje. A nuestra respuesta al impulso (H) no le importa la dirección de la luz porque una fuente puntual irradia en la semiesfera tanto si la iluminamos de lado como de frente. Sin embargo, para describir el objeto extendido (O), debemos tener en cuenta la variación de fase que implica la iluminación fuera del eje. Por lo tanto, la integral coherente básica (por punto de la fuente) debe ampliarse en,

Ahora tenemos tres integrales en lugar de las dos prometidas. Nos ocupamos de ello reuniendo todos los términos que dependen de la dirección incidente y comprimiéndolos en algo que llamaremos función de coherencia mutua (J),

Y por último, reunamos todo lo anterior y tendremos nuestra expresión final para el caso 1D de una imagen parcialmente coherente,

Se han omitido muchos detalles para no perder el bosque por los árboles, y el bosque en este caso es (1), que hemos expandido la intensidad en una amplitud y su conjugado complejo y (2), hecho un incoherente suma sobre las intensidades en (1). En este proceso, conseguimos aislar una transformada de Fourier sobre la distribución de la densidad espectral (en espacio recíproco) de la fuente incoherente.

Al ver la expresión de J(), el ingeniero eléctrico puede pensar en el teorema de Wiener-Khinchin, que relaciona la transformada de Fourier de una densidad espectral con una autocorrelación. En óptica, la misma pieza matemática se denomina teorema de Van Citert-Zernike. La matemática es la misma, pero la integral es sobre el espacio recíproco.

La vista gráfica

Ahora que debería estar claro por qué el formalismo tiene el aspecto que tiene, ya es hora de que establezcamos la conexión con el artículo de Goodman.

The depicted figure illustrates two distinct imaging cases simultaneously: coherent imaging in the lower left and incoherent imaging in the upper right. Magenta shapes within the graphic attempt to encapsulate the symmetry of the integrand. In Goodman’s paper, this is referred to as the “projector function,” which emerges from the product of the impulse response and the coherence function.

Cuando la fuente de luz abarca un ángulo sólido amplio, la función de coherencia experimenta una cancelación significativa dentro de su integral. En consecuencia, los valores distintos de cero de la función de coherencia se encuentran principalmente cerca de la diagonal. En cambio, para una iluminación coherente, la función de coherencia mantiene un valor constante en todo el plano. Esta coherencia se simboliza en la figura mediante un círculo, que subraya las propiedades de simetría de la función de proyección, denotada HH*.

So, what insights can we infer from this visualization? The intensity, I(x), emerges from the convolution of the projector function with the object – represented by a square – along the diagonal where x1 equals x2. A direct observation from this is that, in coherent imaging, the value of I(x) at the object’s edge is a mere quarter of its value within the object’s interior. This implies that for an object to be effectively exposed using coherent illumination, the dose needed for a high-contrast resist is quadruple the dose to clear it.

Por el contrario, para la imagen incoherente representada en la parte superior derecha, la dosis de exposición correcta para la imagen incoherente es el doble de la dosis para aclarar. Esto se debe a que la mitad de la función de proyección reside dentro del objeto, mientras que la otra mitad se encuentra fuera, como ilustran los productos O(x1)O*(x2).

Estas interpretaciones son los resultados más evidentes del método gráfico de Goodman, pero existen muchas otras, que serán el tema central de las próximas charlas técnicas. Aunque las principales aplicaciones de este método tienen su origen en la litografía, en ocasiones también resulta relevante en la interferometría.

En nuestra próxima entrada del blog profundizaremos en cómo influyen en las propiedades de imagen las imperfecciones o los rasgos intencionadamente incorporados de diversos moduladores espaciales de luz. Manténgase al día registrándose en nuestra página de contacto.