¿Es la base adecuada para su sistema?

Los polinomios de Zernike, todos los reconocemos, y son el lenguaje que solemos usar cuando describimos sistemas ópticos. ¿Pero son siempre el lenguaje adecuado?

¿Existe un lenguaje incorrecto? Eventualmente, intentaríamos llevar un diseño a cero, y podríamos pensar que no importa. Pero la forma en que abordamos el cero sí importa.

¿Qué pasa si no podemos llegar a cero, o en toleranciado, podemos elegir empujar este o aquel término, pero no ambos? ¿Cómo elegimos? Si estamos fabricando un telescopio, el caso es claro. Queremos minimizar la varianza del frente de onda y, con ello, maximizar la relación Strehl. Muy claramente derivado en Born y Wolf. Aquí es donde el lenguaje Zernike es la elección correcta.

Sin embargo, ¿qué ocurre si la propiedad que nos interesa no se deriva de la varianza? ¿Cómo podemos saberlo?

Un análisis que se puede emplear es encontrar la expansión de Maclaurin de la propiedad de interés hasta segundo orden utilizando el polinomio de Zernike como (digamos) sondas o simplemente como parámetros libres. Se puede usar un enfoque de Monte Carlo o un enfoque de Muestreo de Hipercubo Latino para esto, y cuál es el mejor es una discusión para tener en otro lugar. Sin embargo, una vez que hemos hecho eso, podemos encontrar la dependencia c (desplazamiento), v (lineal) y A (cuadrada) que mejor se ajusta a los datos, y este ajuste puede ser muy bueno.

Si A resulta no ser diagonal en esta expansión, entonces los polinomios de Zernike no son el lenguaje adecuado porque no se deduce que minimizar uno de los coeficientes mejore siempre nuestra propiedad de interés. En este caso, diagonalizar A nos dará una nueva base ortogonal.

Sin embargo, antes de hacer la pregunta de qué términos minimizar, pero en la nueva base, ¿qué pasa con el término lineal v. La respuesta a eso es, depende.

Obviamente existe la posibilidad de ver la solución a f = 0, y si esta solución está dentro del rango de validez de la expansión, probablemente hemos encontrado una solución no trivial donde aberraciones distintas de cero generan un error cero. Esto ocurre (pero es inusual), pero con bastante frecuencia, o v es esencialmente cero o la solución de f = 0 no está dentro del rango de la expansión, principalmente porque v es residual del proceso de ajuste.

Cuando el término lineal v es cero, ahora nos haríamos la misma pregunta que al principio: ¿deberíamos mejorar este o aquel término en la nueva base? La respuesta es que no importa porque en la nueva base, los términos son independientes y podemos elegir mejorar el que proporcione el mayor efecto.

Podría decirse que esto es un tanto esotérico, pero dado que tenemos los modelos de nuestro sistema óptico y la propiedad de interés, sondear entre 15 y 20 parámetros libres utilizando unos pocos miles de simulaciones puede ser completamente factible y proporciona información valiosa sobre los fundamentos del sistema óptico. A menudo, esto se puede hacer en menos de un día si ya tenemos los modelos implementados. En la GPU, incluso más rápido que eso.

But the really deep point is that, once we see how things work, we can feed it back into our top-level design. Example: We should always avoid linear sensitivities. It is a signal that we are possibly doing something wrong. It happens that this is unavoidable. Then it is what it is, but if this comes up as a surprise, it’s definitely something to feed back to our top-level system design to see if it’s not something that can be eliminated.