Est-ce la bonne base pour votre système ?

Les polynômes de Zernike, nous les reconnaissons tous, et c'est le langage que nous utilisons souvent pour décrire les systèmes optiques. Mais est-ce toujours le bon langage ?

Y a-t-il un mauvais langage ? Éventuellement, nous essaierions de ramener une conception à zéro, et nous pourrions penser que cela n'a pas d'importance. Mais la façon dont nous abordons le zéro importe réellement.

Et si nous ne pouvons pas atteindre zéro, ou en tolérancement, nous pouvons choisir de pousser tel ou tel terme, mais pas les deux ? Comment choisir ? Si nous fabriquons un télescope, le cas est clair. Nous voulons minimiser la variance du front d'onde et, par là, maximiser le rapport de Strehl. Très clairement démontré dans Born & Wolf. C'est là que le langage de Zernike est le bon choix.

Mais qu'en est-il si la propriété qui nous intéresse n'est pas dérivée de la variance ? Comment le savoir ?

Une analyse qui peut être employée consiste à trouver le développement de MacLaurin de la propriété d'intérêt au second ordre en utilisant le polynôme de Zernike comme sondes (par exemple) ou simplement comme paramètres libres. On peut utiliser une approche de Monte-Carlo ou une approche d'échantillonnage par hypercube latin pour cela, et laquelle est la meilleure est une discussion à avoir ailleurs. Cependant, une fois que nous avons fait cela, nous pouvons trouver la dépendance c (offset), v (linéaire) et A (carré) qui correspond le mieux aux données, et cet ajustement peut être très bon.

Si A n'est pas diagonale dans cette expansion, les polynômes de Zernike ne sont pas le bon langage car il ne s'ensuit pas que la minimisation de l'un des coefficients améliore toujours la propriété qui nous intéresse. Dans ce cas, la diagonalisation des A nous donnera une nouvelle base orthogonale.

Cependant, avant de nous poser la question quel terme minimiser, mais dans la nouvelle base, qu'en est-il du terme linéaire v. La réponse à cela est, cela dépend.

Il y a évidemment la possibilité de regarder la solution de f = 0, et si cette solution se trouve dans la plage de validité du développement, nous avons probablement trouvé une solution non triviale où des aberrations non nulles génèrent une erreur nulle. Cela arrive (mais c'est inhabituel), mais très souvent soit v est essentiellement nulle ou la solution de f = 0 n'est pas dans la plage de l'expansion, principalement parce que v est résiduel du processus d'ajustement.

Lorsque le terme linéaire v est zéro, nous poserions maintenant la même question qu’au début : faudrait-il améliorer tel ou tel terme dans la nouvelle base ? La réponse est, cela n’a pas d’importance car dans la nouvelle base, les termes sont indépendants, et nous pouvons choisir d’améliorer celui qui procure le plus grand effet.

On peut arguer que c'est quelque peu ésotérique, mais étant donné que nous avons les modèles de notre système optique et la propriété d'intérêt, sonder 15 à 20 paramètres libres à l'aide de quelques milliers de simulations peut être tout à fait réalisable et fournit des informations précieuses sur les fondements du système optique. Souvent, cela peut être fait en moins d'une journée si nous avons déjà les modèles en place. Sur le GPU, encore plus rapidement.

Mais le point vraiment profond est qu'une fois que nous comprenons comment les choses fonctionnent, nous pouvons le répercuter sur notre conception globale. Exemple : nous devrions toujours éviter les sensibilités linéaires. C'est un signal que nous faisons peut-être quelque chose de mal. Il arrive que ce soit inévitable. Alors, c'est comme ça, mais si cela se présente comme une surprise, c'est certainement quelque chose à répercuter sur notre conception globale du système pour voir si ce n'est pas quelque chose qui peut être éliminé.