Progettare nuovi sistemi ottici dall’inizio può rivelarsi una sfida impegnativa, soprattutto se il sistema che stiamo cercando di realizzare deve essere perfetto prima che tutto possa essere costruito, poiché i componenti fondamentali semplicemente non esistono ancora. È semplicemente un’idea frutto della nostra immaginazione e, in realtà, è parte del nostro compito definirla. Situazioni simili si verificheranno quando esploriamo diversi progetti e vogliamo capire come funzionano realmente le cose prima di affrontare la fase di costruzione.
Facciamo un’ipotesi: bisogna trovare i requisiti per un sistema che non abbiamo mai studiato prima e se esiste una pubblicazione scientifica che possa essere correlata a ciò di cui abbiamo bisogno, riusciremo davvero a trovarla? Non è raro reinventare la ruota da capo. Dirac reinventò l’algebra di Clifford quando derivò le equazioni quantistiche per l’elettrone, quindi ovviamente questo capita a tutti noi. Quindi supponiamo semplicemente che, in ogni caso, la responsabilità ricada su di noi.
La strategia da adottare in questo caso sarebbe quella di mettere in moto un modello – una sorta di mappa, ma non una qualsiasi; deve essere dettagliata abbastanza da consentire di navigare attraverso tutti gli aspetti essenziali (cioè i gradi di libertà), ma non così complessa da non riuscire più a distinguere le cose essenziali. Qui risiede il nostro primo problema: a meno che questa macchina non sia un parente molto stretto di qualcosa che già conosciamo bene, la nostra mappa non è altro che una supposizione piuttosto che una certezza assoluta. Non siamo del tutto sicuri quali siano i percorsi (i gradi di libertà) rilevanti e quali siano solo dettagli.
Se non disponiamo della giusta bussola (strumenti) per navigare nella complessità, rischiamo di semplificare eccessivamente la nostra mappa, limitandoci più alla nostra immaginazione che al terreno reale.
Uno dei modi per affrontare questo problema, che mi è apparso efficace, consiste nell’utilizzare una espansione matematica ben nota per il sistema studiato, essenzialmente un’espansione di Maclaurin. Poiché lo strumento che cerchiamo è quello che libera la nostra analisi dalle nostre limitazioni mentali, deve essere uno che ci consenta di indagare il nostro sistema con un gran numero di variabili indipendenti.
Ci sono diversi modi per affrontare questo problema, ma quello che trovo sia molto efficace è la cosiddetta Latina Hypercube Sampling (LHS), a volte anche chiamata design spaziale riempitivo.
Generare un LHS richiede un po“ di tempo, ma nella maggior parte dei casi è solitamente inferiore a pochi minuti, anche se il numero di variabili indipendenti è elevato. Il tempo di generazione di un LHS cresce linearmente con il numero di variabili e alla terza potenza con il numero di campioni. Fortunatamente, questa complessità è solo di tipo polinomio, o ”facile” se si chiede ai ricercatori di Complessità computazionale.
Un esempio in cui un numero elevato di DOF può essere interessante è quando vogliamo derivare la specifica di un sistema ottico, e i DOF sono i coefficienti del polinomio di Zernike.
Ciò che il LHS ci fornisce è un insieme di campioni distribuite uniformemente su uno spazio multidimensionale, ma è ancora compito nostro porre la domanda giusta, e in questo caso praticamente non ci sono domande sbagliate.
Ad esempio, utilizzando questo set di campioni, è possibile configurare simulazioni che indagano la varianza di una proprietà, oppure simulare come una certa proprietà deterministica dipenda dai nostri DOF. Entrambi questi approcci possono rivelarsi molto utili, ma prima di approfondire ulteriormente il tema, diamo un’occhiata a come ottenere alcuni risultati da analizzare.
Anche se può sembrare semplice, questo approccio è molto prezioso e offre spunti di riflessione che spesso si trasformano in momenti di illuminazione.
Dal lato destro della finestra di visualizzazione abbiamo un insieme di punti e, utilizzando questi punti di campionamento nel nostro problema multidimensionale, eseguiamo un numero uguale di simulazioni per ottenere un risultato numerico per ciascuno. Tuttavia, avendo fatto tutto ciò non è molto illuminante. Abbiamo bisogno di ridurre questa complessità. Abbiamo bisogno di riassumere tutte queste simulazioni, che potrebbero facilmente essere numerose migliaia, in qualcosa che possiamo comprendere, qualcosa che possa separare il grano dalla sabbia, per così dire.
Il modo per farlo è cercare di esprimere i nostri risultati usando un'espansione di secondo ordine,
Questo è molto simile al modo in cui esprimiamo un'espansione di MacLaurin, ma il punto è che il gradiente e la Hessian sono ancora sconosciuti e dobbiamo trovarli. Possiamo farlo?
Sì, possiamo farlo. Abbiamo molte informazioni e possiamo trovare il coefficiente di v e H è un problema lineare. Per un 2 DOF, abbiamo 1 incognita “c”, 1 incognita nel termine lineare “v” e 2 + 1 nel “H”Perché H È simmetrico. Per i 3 DOF abbiamo 1 + 3 + 3 + 2 + 1 e così via. Si tratta semplicemente di algebra lineare. Le nostre migliaia di simulazioni e il More Penrose pseudo inverse ci daranno questi incogniti più velocemente di quanto possiamo dire “soluzione numerica”.
E è proprio da qui che iniziano le cose interessanti. Se le nostre espansioni di secondo ordine sono valide, possiamo ridurre spesso migliaia di simulazioni in un modello che ora possiamo iniziare a scomporre ancora più a fondo.
La prima cosa che di solito si fa dopo aver ottenuto l’espansione è verificare quanto bene questa espansione riproduca i migliaia di risultati simulati. Molto spesso, la correlazione tra il modello e le simulazioni è superiore al 99%. Considererei il 95% appena utile, ma il risultato tipico è intorno al 99% o superiore. Sarà naturalmente a seconda di come sia strutturata la proprietà sottostante, se il nostro modello numerico si riferisce a una proprietà statistica o no.
Prima di giocare con questo modello, non ne eravamo consapevoli, ma ancora non ho trovato un caso in cui questa espansione non potesse essere trasformata in qualche modo, il che consentirebbe di catturare tutte le variazioni derivanti dalle nostre simulazioni.
Ora passiamo alla parte in cui possiamo trarre beneficio dal nostro duro lavoro. Ci sono in genere tre tipi di risultati: o l’espansione è dominata dal termine lineare, oppure dal termine quadrato oppure è una combinazione di entrambi, il che è davvero interessante perché ci dice che la nostra espansione non ha un minimo preciso.
Se il termine lineare domina, beh, immagino che sia così. Non ci sono interazioni tra i DOF di cui parlare. Caso chiuso. Il nostro sistema era semplice, e se prima non lo avevamo capito, adesso ce l’abbiamo sicuramente.
La situazione diventa più interessante quando il termine della seconda ordine domina l'espansione, perché ora c'è più da imparare. Ciò che bisogna fare è sicuramente chiamare in causa l'algebra lineare e riscriverla. H come,
utilizzando la Decodifica del Valore Singolare, o in breve SVD.
Se siete arrivati fin qui e decidete di non cogliere questa opportunità, sarebbe equivalente a lasciare che Neo assuma la pillola blu, optando per dormire e credere in quello che vuole credere. Non assumete mai la pillola blu.
Se il vostro sistema deve essere espresso in termini di una matrice di secondo ordine, dovrete rimanere nel mondo delle meraviglie e lasciare che la SVD vi dimostri quanto profonda sia la buca del topo.
Non si tratta solo di un gioco teorico dei numeri. Potrebbe essere necessario conoscerlo durante la progettazione dell’ottica, poiché non solo vi dice che determinate combinazioni di aberrazione devono essere ottimizzate insieme, ma anche gli elementi diagonali di Σ vi dicono quanto siano davvero importanti ciascuna di queste combinazioni, il che è un suggerimento prezioso su cosa la funzione di merito dovrebbe sopprimere di più.
Allora, che dire del caso misto, in cui sia la parte lineare che quella quadrata contribuiscono in modo significativo al modello? Questo è davvero interessante perché ci dice che, contrariamente alla nostra convinzione iniziale, il sistema non si è espanso intorno allo stato ideale.
In questo caso è necessario un po’ di cautela, poiché la soluzione dipende dal modello utilizzato e, anche in questo caso, potrebbe indicare un nuovo minimo al di fuori del volume analizzato dal set iniziale di punti di campionamento. Ciò può comunque essere accettabile, ma non si può dare per scontato.
Supponiamo di applicare questa teoria a qualcosa come il cavo di fibra ottica. Rimaniamo fedeli all’idea che non sappiamo come funziona, utilizziamo i polinomi di Zernike come grado di libertà e, come funzione di test, calcoliamo la perdita di inserimento in funzione dei nostri gradi di libertà.
Innanzitutto, definiremo quanti DOF vogliamo studiare. Supponiamo di fermarci a Z16. Sappiamo che Z1 di solito non importa, ma quelli successivi sì, quindi 15 DOF.
In secondo luogo, generiamo 1024 punti di campionamento su 15 DOF utilizzando il LHS. Il LHS genera solitamente punti di campionamento su un hypercube, quindi dobbiamo scalare tali valori in qualcosa di ragionevole. Se non conosciamo nulla riguardo al soggetto, probabilmente dovremmo iniziare con qualcosa di piccolo, davvero piccolo. Quindi, forse possiamo ripetere il processo finché non troviamo che il modello che calcoliamo non si adatta più molto bene ai dati, o finché non raggiungiamo un intervallo di valori che riteniamo essere rilevante per il nostro sistema.
Ora, saltiamo un po’ nel tempo e, dopo 1024 simulazioni della perdita di inserimento, abbiamo la nostra funzione f(x,….) e qualcosa su cui modellare.Questa simulazione ha previsto un apodizzo di 2 e un modulo fondamentale gaussiano. Questo blog non è molto incentrato sulle fibre monomode, quindi perdonate le assunzioni semplificate relative alle fibre monomode.)
Una volta trovati i coefficienti di c, v, e H, Con questo possiamo vedere come il modello ha ripreso le nostre simulazioni.,
Come previsto, abbiamo ottenuto una buona correlazione tra le simulazioni e l’espansione del modello. Poiché l’ottica fisica è descritta solo dall’integrale di sovrapposizione, ciò era prevedibile. Dopo tutto, questo dovrebbe essere un esempio da cui imparare.
Ora possiamo anche vedere quanto di questa correlazione proviene dal termine lineare,
E ancora, come previsto, la correlazione è una (statistica) zero. Abbiamo modellato qualcosa che ha un minimo a zero di aberrazioni. Si prevede che la parte lineare svanisca. Quindi ora diamo un’occhiata al termine quadrato.
Spero che ormai sia abbastanza evidente che utilizzeremo la decomposizione della valenza singolare, ricordate la pillola rossa, giusto? Quindi, usiamo la nostra H nel SVD, e la prima cosa da esaminare sono i valori singolari,
I valori reali sull’asse Y non sono così interessanti, dopotutto dipendono dal volume del nostro hypercube di test, che abbiamo usato per campionare il nostro problema. Ciò che è più interessante è la struttura. Il nostro problema è stato ridotto a quasi 3 variabili indipendenti, più 2 molto meno importanti. Vediamolo insieme:,
Abbiamo iniziato con 1024 valori simulati su 15 dimensioni di qualcosa di cui (fintamente) non sapevamo nulla, e abbiamo finito con 3 importanti contributi a una proprietà che volevamo comprendere.
Questo non è un risultato insolito quando si effettua questo tipo di analisi. Forse la correlazione non è così buona come nel caso di questo esempio costruito, ma con una qualche trasformazione dei dati il modello di secondo ordine può catturare sostanzialmente tutta la varianza della simulazione.
Probabilmente l'aspetto più prezioso di questo tipo di analisi è che possiamo assumere un numero molto più ampio di gradi di libertà e non ci limitiamo alla nostra capacità di decifrare la complessità, o, per usare la metafora della mappa, non c'è nessun albero. Solo foreste e colline vediamo. Da questo punto di vista, l'immagine d'insieme è tutto ciò che c'è e tutto ciò per cui abbiamo pagato è stato il tempo impiegato al computer.
C'è un strumento pratico qui, per i sistemi ingegneri che hanno bisogno di un modo per registrare una delle molte componenti mobili presenti nella loro (di solito piuttosto grande) tabella Excel dei compromessi di sistema.
Non sempre si trova un’analisi di tipo didattico come quella presentata qui. Lo sto scrivendo perché ho appena riscontrato una situazione in cui non c’è alcuna correlazione lineare né alcuna correlazione di secondo ordine, ma la piena espansione rileva comunque il 96%-97% dei dati. Questo non è insolito quando si combinano variabili che non sono fisicamente collegate. In genere non si modellano bene insieme.
Tuttavia, l'espansione ha comunque acquisito informazioni che possono essere utilizzate quando, in qualità di ingegneri dei sistemi, dobbiamo effettuare un confronto tra i parametri rilevati nelle nostre simulazioni ottiche e gli effetti che questi parametri possono avere su altre proprietà del sistema. Sono molti questi esempi.
Perché abbiamo scelto un’espansione di secondo ordine? Beh, ci sono “ragioni”. La prossima espansione è descritta da un tensore simmetrico di grado 3. Possiamo comunque estrarre i componenti di questo tensore perché il problema di minimizzazione delle equazioni quadratiche che le lega ai nostri dati rimane lineare.
Ci sono però alcune cose che perdiamo. Non esiste, ad esempio, una SVD per i tensori. Tuttavia, vi sono stati alcuni lavori matematici “recenti” qui (se si considera il 2005 come recente, ma io ho iniziato a lavorare su questo prima del 2005, quindi), che potrebbero offrire ulteriori approfondimenti sulle proprietà dei sistemi complessi, come gli autovalori e gli autoveicoli per i tensori.
Se trovi tutto questo troppo esoterico, e capisco perfettamente se lo trovi, una espansione di terzo ordine è garantita per catturare più variabilità nei tuoi dati rispetto a una seconda ordine. Se hai semplicemente bisogno di quella funzione magica nel tuo foglio di lavoro Excel, almeno puoi averla.
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