Dieser Blog-Beitrag ist der erste von drei Beiträgen über die Anwendung von Goodmans grafischen Methoden und teilkohärenter Beleuchtung mit Schwerpunkt auf deren Anwendung auf räumliche Lichtmodulatoren. Diese Einführung wird an einem Punkt vor Goodmans Arbeit beginnen und ungefähr dort enden, wo seine Arbeit beginnt. Wir hoffen, dass sie als Einführung in die Teminologie und die Konzepte des Papiers dient.
Die Entwicklung eines teilkohärenten Bildgebungssystems, insbesondere eines Systems, das einen räumlichen Lichtmodulator umfasst, kann eine große Herausforderung sein. Räumliche Lichtmodulatoren sind an sich schon komplexe Systeme, und einen Entwurf von Grund auf mit undurchsichtigen Simulationswerkzeugen zu erstellen, ist so, als würde man einen dunklen Raum mit einem Laserpointer beleuchten. Die Dinge werden an der beleuchteten Stelle ziemlich klar, aber das Gesamtbild ist immer noch nicht klar.
Das Problem bei der teilkohärenten Bildgebung ist, dass wir nicht mehr auf bekannte Konzepte wie eine lineare Abbildung zurückgreifen können. Bei inkohärenten Bildgebungssystemen können wir die Intensitäten summieren. Bei kohärenten Bildgebungssystemen summieren wir die Amplituden, aber teilkohärente Bildgebungssysteme sind linear in der gegenseitigen Kohärenzfunktion, was leider nur sehr wenig zusätzlichen Einblick in den Bildgebungsprozess bietet.
Es gibt jedoch eine gewisse Erleichterung durch Goodman. Nein, nicht Joseph Goodman. Ich spreche von Douglas Goodman. Goodmans Papier, "Grafische Methoden zum besseren Verständnis teilkohärenter Bildgebung" ist ein großartiges Papier, das nützliche Einblicke in das Thema bietet und mit Hilfe eines zweidimensionalen Diagramms einige nicht-intuitive, sowohl quantitative als auch qualitative, Ergebnisse verständlich macht.
Der Verfasser behandelt das Thema aus verschiedenen Blickwinkeln, geht aber davon aus, dass der Leser mit dem Formalismus vertraut ist, und stürzt sich in die Geschichte. Meiner Erfahrung nach ist das für viele Leser manchmal eine Brücke zu weit. Daher wird dieser Tech Talk versuchen, die Lücke zu schließen und als Vorläufer des Papiers zu dienen. Da dieses Thema offensichtlich bereits in mehreren Standardtexten wie Born & Wolf oder J. Goodmans Statistische Optik ausführlich behandelt wird, werden wir uns stattdessen auf die theoretischen Details beschränken, um uns auf die wichtigsten Konzepte für den Spezialfall der Abbildung eines eindimensionalen Objekts, einer Linie, zu konzentrieren.
Beginnen wir daher mit etwas, das den meisten Lesern vertraut sein dürfte, nämlich der Berechnung der Intensität für ein kohärentes Bild eines Objekts (O) durch ein optisches System, das durch die Impulsantwort (H) charakterisiert ist. Die hier verwendeten Symbole sind die gleichen wie in der Abhandlung, um denjenigen, die dies wünschen, den Sprung zu Goodmans Abhandlung zu erleichtern.
Wir müssen nur noch zwei Hürden überwinden, um das große Ganze zu verstehen, um das es hier geht. Die eine ist, warum ein eindimensionales Objekt ein zweidimensionales Integral erfordert. Das ist ganz einfach, denn dazu muss man den obigen Ausdruck in seine Amplitude und seine konjugierte komplexe Funktion zerlegen. Voila. Zwei Integrale. Sind wir jetzt fertig? Nun, fast.
How, Zeit für ein Geständnis. So etwas wie partielle Kohärenz gibt es nicht. Die Quantenphysik sagt uns, dass ein Teilchen nur mit sich selbst interferiert oder gar nicht. Das ist ziemlich eindeutig, nicht wahr? Wenn wir ein teilkohärentes System aufbauen, brauchen wir im Grunde eine inkohärente Quelle mit ausreichender Etendue, um alle Objekte zu beleuchten, die wir in ein einziges Bild quetschen wollen. Für das vorliegende Thema können wir das Etendue vergessen, aber wir müssen die inkohärente Quelle im Unendlichen betrachten, oder praktisch gesprochen, am anderen Ende eines kollimierten 2F-Systems.
Heißt das also, dass wir die Intensitäten aller von der Quelle ausgehenden ebenen Wellen einfach summieren können?
Nein, denn das obige Integral berücksichtigt die außermittige Beleuchtung nicht korrekt. Unserer Impulsantwort (H) ist die Richtung des Lichts egal, da eine Punktquelle in die Halbkugel strahlt, egal ob wir sie von der Seite oder von vorne beleuchten. Um jedoch das ausgedehnte Objekt (O) zu beschreiben, müssen wir die variierende Phase berücksichtigen, die durch die außermittige Beleuchtung entsteht. Daher muss das grundlegende kohärente Integral (pro Quellenpunkt) erweitert werden zu,
Wir haben jetzt drei Integrale statt der versprochenen zwei. Wir kümmern uns darum, indem wir alle Terme sammeln, die von der Einfallsrichtung abhängen, und all das in etwas zusammenfassen, das wir die mutale Kohärenzfunktion (J) nennen,
Und schließlich können wir alle oben genannten Punkte zusammenfassen und erhalten unseren endgültigen Ausdruck für den 1D-Fall eines teilweise kohärenten Bildes,
Viele Details wurden weggelassen, um den Wald vor lauter Bäumen nicht zu übersehen, und der Wald besteht in diesem Fall darin, dass wir (1) die Intensität in eine Amplitude und ihre komplex Konjugierte erweitert haben und (2) eine inkohärent Summe über die Intensitäten in (1). Auf diese Weise ist es uns gelungen, eine Fourier-Transformation über die Verteilung der Spektraldichte (im reziproken Raum) der inkohärenten Quelle zu isolieren.
Bei der Betrachtung des Ausdrucks für J() könnte der Elektroingenieur an das Wiener-Khinchin-Theorem denken, das die Fourier-Transformation einer Spektraldichte mit einer Autokorrelation in Beziehung setzt. In der Optik wird der gleiche Satz als Van Citert-Zernike-Theorem bezeichnet. Die Mathematik ist die gleiche, aber das Integral ist über den reziproken Raum.
Nun, da klar sein sollte, warum der Formalismus so aussieht, wie er aussieht, ist es an der Zeit, die Verbindung zu Goodmans Arbeit herzustellen.
The depicted figure illustrates two distinct imaging cases simultaneously: coherent imaging in the lower left and incoherent imaging in the upper right. Magenta shapes within the graphic attempt to encapsulate the symmetry of the integrand. In Goodman’s paper, this is referred to as the “projector function,” which emerges from the product of the impulse response and the coherence function.
Wenn die Lichtquelle einen großen Raumwinkel einnimmt, erfährt die Kohärenzfunktion eine erhebliche Auslöschung innerhalb ihres Integrals. Folglich finden sich von Null abweichende Werte der Kohärenzfunktion hauptsächlich in der Nähe der Diagonalen. Im Gegensatz dazu behält die Kohärenzfunktion bei kohärenter Beleuchtung einen konstanten Wert über die gesamte Ebene bei. Diese Konsistenz wird in der Abbildung durch einen Kreis symbolisiert, der die Symmetrieeigenschaften der Projektorfunktion (HH*) hervorhebt.
So, what insights can we infer from this visualization? The intensity, I(x), emerges from the convolution of the projector function with the object – represented by a square – along the diagonal where x1 equals x2. A direct observation from this is that, in coherent imaging, the value of I(x) at the object’s edge is a mere quarter of its value within the object’s interior. This implies that for an object to be effectively exposed using coherent illumination, the dose needed for a high-contrast resist is quadruple the dose to clear it.
Umgekehrt ist bei der oben rechts dargestellten inkohärenten Abbildung die korrekte Belichtungsdosis für die inkohärente Abbildung doppelt so hoch wie die Dosis für die Aufhellung. Dies liegt daran, dass sich die Hälfte der Projektorfunktion innerhalb des Objekts befindet, während die andere Hälfte außerhalb liegt, wie die Produkte O(x1)O*(x2) zeigen.
Diese Interpretationen sind die offensichtlichsten Ergebnisse von Goodmans grafischer Methode, aber es gibt noch unzählige andere, die in den kommenden Tech Talks im Mittelpunkt stehen werden. Die Hauptanwendungsgebiete dieser Methode liegen in der Lithografie, aber gelegentlich findet sie auch in der Interferometrie Anwendung.
Unser nächster Blogbeitrag wird sich damit befassen, wie die Abbildungseigenschaften durch Unvollkommenheiten oder absichtlich eingebaute Merkmale verschiedener räumlicher Lichtmodulatoren beeinflusst werden. Bleiben Sie auf dem Laufenden und registrieren Sie sich auf unserer Kontaktseite.
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