This blog post will be the first of three about the appliation of Goodman’s graphical methods and partially coherent illumination with focus on its application to Modulatori spaziali della luce. This introduction will start at a point before Goodman’s paper and end just about where his paper begins. Hopefully, it will serve as an introduction to the teminology and concepts in the paper.

Coerenza parziale – Nulla da temere

Designing a partially coherent imaging system, especially one that involves a spatial light modulator, can be a tall order. Modulatori spaziali della luce are complex systems by themselves and to make a design from scratch at the mercy of opaque simulation tools is like illuminating a dark room using a laser pointer. Things become pretty clear at the illuminated spot but the whole picture is still lacking.

Il problema dell’imaging parzialmente coerente è che non possiamo più fare affidamento su concetti familiari come una mappatura lineare. Con i sistemi di imaging incoerenti possiamo sommare le intensità. Con i sistemi di imaging coerenti possiamo sommare le ampiezze, ma i sistemi di imaging parzialmente coerenti sono lineari nella funzione di coerenza reciproca, che purtroppo offre pochissime informazioni aggiuntive sul processo di imaging.

Ciononostante, Goodman offre qualche sollievo. No, non Joseph Goodman. Mi riferisco a Douglas Goodman. Il documento di Goodman, “Metodi grafici per comprendere le immagini parzialmente coerenti”è un ottimo articolo che offre spunti utili sul tema e, grazie al supporto di un grafico bidimensionale, è possibile comprendere alcuni risultati non intuitivi, sia quantitativi che qualitativi”.

Il documento copre il tema da diversi punti di vista, ma si inserisce nella storia assumendo che il lettore sia familiare con il formalismo. In mia esperienza, questo a volte è troppo complicato per molti lettori. Pertanto, questo Tech Talk cercherà di colmare il divario e fungerà da pretesto per il documento. Poiché questo argomento è ovviamente già ampiamente trattato in numerosi testi standard come Born & Wolf o J. Goodman’s Statistical Optics, preferiamo concentrarci sulle nozioni teoriche per concentrarci sui concetti più importanti per il caso particolare dell’imaging di un oggetto unidimensionale, una linea.

Ritornando ai principi fondamentali

Perciò, iniziamo con qualcosa che la maggior parte dei lettori possa comprendere facilmente: il calcolo dell’intensità per un’immagine coerente di un oggetto (O) attraverso un sistema ottico caratterizzato dalla risposta d’impulso (H). I simboli utilizzati in questo documento sono gli stessi di quello precedente per facilitare il passaggio al documento di Goodman per coloro che lo desiderano.

\[I(x) = \left| \int d x_1 O(x_1) H(x-x_1) \right|^2\]

Ci restano solo due ostacoli da superare per arrivare alla grande immagine che è l'obiettivo di questo esercizio: uno è il motivo per cui un oggetto unidimensionale richiede un integrale bidimensionale. Questo è semplice perché implica l'espansione dell'espressione sopra riportata nella sua ampiezza e nel suo coniugato complesso. Ecco fatto. Due integrali. Siamo già finiti? Beh, quasi.

Come dire la verità: non esiste la coerenza parziale. La fisica quantistica ci insegna che una particella interferisce solo con se stessa o non interferisce affatto. È una spiegazione piuttosto semplice, no? Quando creiamo un sistema parzialmente coerente, abbiamo bisogno di una fonte incoerente con un’intensità sufficiente per illuminare tutti gli oggetti che vogliamo racchiudere in un’unica immagine. Per il caso di studio in questione, possiamo dimenticare l’intensità, ma dobbiamo considerare la fonte incoerente all’infinito, o più propriamente, all’altro estremo di un sistema collimato a 2F.

Significa quindi che possiamo semplicemente sommare le intensità di tutte le onde sferiche originarie della sorgente?

\[ \int dk \int d x_1 \int d x_2 O(x_1) H(x – x_1) O^*(x_2) H^*(x – x_2)\]

No, perché l’integrale sopra non tiene conto correttamente dell’illuminazione fuori asse. La nostra risposta d’impulso (H) non tiene conto della direzione della luce poiché una sorgente puntiforme irradia nella metà della sfera sia da un lato che dall’altro. Tuttavia, per descrivere l’oggetto esteso (O), dobbiamo tener conto della variazione della fase implicata dall’illuminazione fuori asse. Pertanto, l’integrale coerente di base (per punto sorgente) deve essere esteso in:,

\[ \int d x_1 (x_1) H(x – x_1) O(x_1)\exp(i k x_1) \phi (k) \int d x_2 O^*(x_2) H^*(x – x_2) \exp( -ik x_2)\phi^*(k)\]

Ora abbiamo tre integrali invece dei promessi due. Facciamo questo raccogliendo tutti i termini che dipendono dalla direzione dell’incidente e comprimendoli tutti in qualcosa che chiameremo funzione di coerenza mutua (J).,

\[ \int dk \exp(ik x_1) \phi(k)\exp(i k x_2) \phi^*(k) = \int dk \exp(i k (x_1 – x_2) |\phi(k)|^2 \equiv J(x_1 – x_2) \]

E infine, possiamo raccogliere tutti i punti sopra esposti e otteniamo la nostra espressione finale per il caso 1D di un'immagine parzialmente coerente:,

\[ I(x) = \iint dx_1 dx_2 O(x_1) O^*(x_2) H(x – x_1)H^*(x -x_2)J(x_1 – x_2)\]

Sono stati omessi molti dettagli per non perdere di vista il quadro generale, e il quadro generale in questo caso è (1), l’espansione dell’intensità in ampiezza e nel suo coniugato complesso, e (2), la realizzazione di incoerente somma delle intensità riportate in (1). In questo processo, siamo riusciti a isolare una trasformazione di Fourier sulla distribuzione della densità spettrale (in spazio reciproco) della sorgente incoerente.

Osservando l'espressione per J(), l'ingegnere elettrotecnico potrebbe pensare al teorema di Wiener-Khinchin, che collega la trasformazione di Fourier di una densità spettrale a un'autocorrelazione. Nell'ottica, la stessa operazione matematica è chiamata teorema di Van Citert-Zernike. La matematica è la stessa, ma l'integrale è su uno spazio reciproco.

La visualizzazione grafica

Ora che dovrebbe essere chiaro il motivo per cui il formalismo appare così, è giunto il momento di collegare tutto ciò alla pubblicazione di Goodman.

La figura raffigurata illustra simultaneamente due casi di imaging distinti: imaging coerente nella parte inferiore sinistra e imaging incoerente nella parte superiore destra. Le forme magenta presenti nella grafica cercano di racchiudere la simmetria dell’integrando. Nel documento di Goodman questa caratteristica è definita “funzione del proiettore”, che deriva dal prodotto della risposta d’impulso e della funzione di coerenza.

Quando la sorgente luminosa ha un ampio angolo di proiezione, la funzione di coerenza subisce una significativa cancellazione all’interno del suo integrale. Di conseguenza, i valori non nullo della funzione di coerenza si trovano principalmente vicino alla diagonale. In contrasto, nell’illuminazione coerente la funzione di coerenza mantiene un valore costante su tutto il piano. Questa coerenza è simbolizzata nella figura da un cerchio, che sottolinea le proprietà di simmetria della funzione del proiettore, indicata HH*.

Quindi, quali intuizioni possiamo trarre da questa visualizzazione? L’intensità, I(x), deriva dalla convoluzione della funzione del proiettore con l’oggetto – rappresentato da un quadrato – lungo la diagonale in cui x1 è uguale a x2. Una osservazione diretta da questo punto di vista è che, nell’imaging coerente, il valore di I(x) al bordo dell’oggetto è solo un quarto del suo valore all’interno dell’oggetto stesso. Ciò implica che, per rendere un oggetto effettivamente esposto utilizzando un’illuminazione coerente, la dose necessaria per un resistente ad alto contrasto è quadrupla rispetto alla dose necessaria per la sua eliminazione.

Al contrario, per le immagini incoerenti raffigurate nella parte superiore destra, la dose corretta di esposizione per le immagini incoerenti è il doppio della dose necessaria per ottenere la nitidezza desiderata. Questo perché metà della funzione del proiettore si trova all'interno dell'oggetto, mentre l'altra metà si trova al di fuori, come illustrato dai prodotti O(x1)O*(x2).

Queste interpretazioni sono gli esiti più evidenti del metodo grafico di Goodman, ma esistono innumerevoli altri esempi che saranno al centro dei prossimi Tech Talks. Sebbene le applicazioni principali di questo metodo siano radicate nella litografia, talvolta trovano anche applicazione nell’interferometria.

Il nostro prossimo post sul blog approfondirà il modo in cui le proprietà di imaging sono influenzate dalle imperfezioni o dai tratti intenzionalmente incorporati dei vari modulatori spaziali della luce. Restate aggiornati iscrivendovi sulla nostra pagina di contatto.