Die Zernike-Polynome, wir kennen sie alle, und sie sind die Sprache, die wir oft sprechen, wenn wir optische Systeme beschreiben. Aber sind sie immer die richtige Sprache?

Gibt es eine falsche Sprache? Irgendwann würden wir versuchen, ein Design auf Null zu reduzieren, und wir denken vielleicht, es spielt keine Rolle. Aber die Art und Weise, wie wir uns Null nähern, spielt eine Rolle.

Was, wenn wir nicht auf Null kommen können, oder in der Toleranzanalyse können wir uns entscheiden, diesen oder jenen Term zu optimieren, aber nicht beide? Wie wählen wir? Wenn wir ein Teleskop bauen, ist der Fall klar. Wir wollen die Varianz der Wellenfront minimieren und damit das Strehl-Verhältnis maximieren. Sehr klar abgeleitet in Born & Wolf. Hier ist die Zernike-Sprache die richtige Wahl.

Was aber, wenn die Eigenschaft, an der wir interessiert sind, nicht von der Varianz abgeleitet ist? Wie können wir das wissen?

Eine Anwendungsmöglichkeit ist die Ermittlung der MacLaurin-Entwicklung der interessierenden Eigenschaft bis zur zweiten Ordnung, wobei die Zernike-Polynome als (z. B.) Sonden oder einfach als freie Parameter verwendet werden. Hierzu kann ein Monte-Carlo-Ansatz oder ein Latin-Hypercube-Sampling-Ansatz verwendet werden, und welcher die beste Methode ist, ist eine Diskussion für einen anderen Zeitpunkt. Sobald wir dies getan haben, können wir die Abhängigkeiten c (Offset), v (linear) und A (quadratisch) ermitteln, die die beste Anpassung an die Daten ergeben, und diese Anpassung kann sehr gut sein.

Wenn A in dieser Erweiterung nicht diagonal ist, sind die Zernike-Polynome nicht die richtige Sprache, denn es folgt nicht, dass die Minimierung eines der Koeffizienten immer die gewünschte Eigenschaft verbessert. In diesem Fall würde die Diagonalisierung A wird uns eine neue orthogonale Basis geben.

Allerdings, bevor wir die Frage stellen, welche der Terme zu minimieren sind, aber in der neuen Basis, was ist mit dem linearen Term v. Die Antwort darauf ist, es kommt darauf an.

Es gibt offensichtlich die Möglichkeit, die Lösung anzuschauen f = 0, und wenn diese Lösung im Gültigkeitsbereich der Entwicklung liegt, haben wir wahrscheinlich eine nicht-triviale Lösung gefunden, bei der Nicht-Null-Aberrationen einen Nullfehler erzeugen. Dies kommt vor (ist aber ungewöhnlich), aber ziemlich oft entweder v im Wesentlichen Null ist oder die Lösung von f = 0 liegt nicht im Bereich der Expansion, hauptsächlich weil v ein Residuum aus dem Anpassungsprozess ist.

Wenn der lineare Term v ist null, würden wir nun dieselbe Frage stellen wie anfangs: Sollen wir diesen oder jenen Term in der neuen Basis verbessern? Die Antwort ist: Es spielt keine Rolle, denn in der neuen Basis sind die Terme unabhängig, und wir können denjenigen verbessern, der den höchsten Effekt erzielt.

Wohl eher esoterisch, aber wenn man die Modelle unseres optischen Systems und die interessierende Eigenschaft hat, kann das Durchtesten von 15-20 freien Parametern mit einigen Tausend Simulationen durchaus machbar sein und liefert wertvolle Einblicke in die Grundlagen des optischen Systems. Oft kann dies in weniger als einem Tag erledigt werden, wenn die Modelle bereits vorhanden sind. Auf der GPU sogar noch schneller.

Aber der wirklich tiefe Punkt ist, dass wir, sobald wir sehen, wie die Dinge funktionieren, dies in unser übergeordnetes Design zurückspeisen können. Beispiel: Wir sollten lineare Empfindlichkeiten immer vermeiden. Es ist ein Signal dafür, dass wir möglicherweise etwas falsch machen. Manchmal ist dies unvermeidlich. Dann ist es, wie es ist, aber wenn dies unerwartet auftritt, ist es definitiv etwas, das wir in unser übergeordnetes Systemdesign zurückspeisen sollten, um zu sehen, ob es nicht etwas ist, das eliminiert werden kann.